[논리설계] 2. 부울대수와 논리게이트

1. 부울 스위칭 대수

  - 부울 대수 : 논리 연산자 and, or, not을 사용하여 논리적 기능을 처리하는 논리 수학

  - 부울식 : 논리적 기능을 기호로 나타낸 식

  - 논리변수 : 시간에 따라 변하는 논리치를 갖는 양

  - 논리연산자 : 논리 시스템을 해석하고 설계하는데 사용되는 기본적인 기능

  - 논리함수 : 임의의 시스템이 갖고있는 논리적인 기능 

  - 진리표 : 모든 가능한 경우의 논리적인 입력과 출력과의 관계를 나타낸 표

 

 

2. 부울 함수

  - Closure : + /· (and / or)

  - 단위원 (identity element) : 원래 꼴이 나오게 만드는 값 (or일 때는 0, and 일 때는 1) 

    ex) x+0 = 0+x = x

         x · 1 = 1 · x = x

  - 교환법칙, 분배법칙

  - 보수

     ex) x + x' = 1

          x · x' = 0

 

 

ex) F1 = x + y'z ,

     F2 = x'y'z + x'yz + xy' = x'z(y'+y) + xy' = x'z + xy' 

 

 

진리표이다

 

 

 * 부울 함수를 리터럴의 개수가 최소가 되도록 간략화하기!

 * 쌍대의 법칙 : and를 or로, or을 and로 싹 다 바꾸면 값이 같다. 

 * 함수의 보수 : 드모르간 법칙과 굉장히 유사... (A+B+C)' = A'B'C' -> 쌍대 구해서 각 리터럴을 보수화하면 됨

 

 

 

3. Canonical and Standard Forms

  1) Canonical Forms

 - Minterm : 이진 변수에 대한 AND의 항(표준 곱) -> n개의 변수에 대해서 2^n개 있음

 - Maxterm : 이진 변수에 대한 OR의 항(표준 합) -> 얘도 2^n개 있음

 

Minterms에서는 and 연산한 결과가 무조건 1이 나오도록 변수를 지정해주고, Maxterms에서는 or 연산한 결과가 무조건 0이 되도록 지정해준다고 생각하면 됨. 

 

 

minterm은 함숫값이 1이 되는 걸 기준으로, maxterm은 0이 되는 것을 기준으로 함.

 

  - Sum of Minterm 

 ex)  부울함수 F=A+B'C를 minterm의 합으로 표시

 A = A(B+B') = AB+ AB' = AB(C+C') + AB'(C+C') = ABC+ABC'+AB'C+AB'C'

B'C = (A+A')(B'C) = AB'C+A'B'C

따라서 ABC+ABC'+AB'C+AB'C'+AB'C+A'B'C = A'B'C+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC = m1 + m4+ m5 + m6 + m7 = ∑(1,4,5,6,7)

 

  - Product of Maxterm

 ex) 부울함수 F= xy+x'z를 maxterm의 곱으로 표시

F = xy+x'z = (xy+x')(xy+z) = (x+x')(y+x')(x+z)(y+z) = (x'+y)(x+z)(y+z)

x'+y=x'+y+zz' = (x'+y+z)(x'+y+z')

x+z=x+yy'+z=(x+y+z)(x+y'+z)

y+z=xx'+y+z=(x+y+z)(x'+y+z)

이하 생략

 

  - Conversion between Canonical Forms

  F(A,B,C) = ∑(1,4,5,6,7)

  F'(A,B,C) = ∑(0,2,3)

  F = (m0 + m2 + m3)' = m0'm2'm3' = M0M2M3

즉, mj ' = Mj

 

 

 2) Standard Forms ; 리터럴을 최소화하자!

  - Sum of product (SOP) : F1 = y' + xy + x'yz'

  - Product of sum (POS) : F2 = x(y'+z)(x'+y+z'+w)

 

 

4. 2진 논리함수 

 -AND 게이트

 -OR 게이트

 -NOT 게이트

 - NAND 함수 : s = (xy)' = x' + y'

둘다 1일 때 0

NAND 게이트의 논리기호임

 - NOR 함수 : s = (x+y)' = x'y'

하나라도 1이 있으면 0, 둘다 0이면 1

 

NOR의 논리기호

 

 - EX-OR 함수 (XOR) : 같으면 0 다르면 1!

 - EX-NOR : 같으면 1, 다르면 0

이건 그냥 그렇구나 하셈

 

(1) ((xy)')' + ((xy)')' = x'+y')' + (x'+y')' = xy + xy = xy

(2) (x')' + (y')' = x + y